lunes, 9 de enero de 2012

Nodos, Supernodos, Malla y Supermalla

Análisis de nodos
 
Figura 1: La ley de corrientes de Kirchhoff es la base del análisis de nodos.
En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos.
Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga    nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor,

Irama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor.

El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (Por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos, El análisis de nodos modificado.
Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales (que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.
 
Procedimiento
 

Figura 2: Se elige el nodo con más conexiones como nodo de referencia (cuya tensión es 0) y se asignan 3 variables Va, Vb y Vc

1.    Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán para el método.
2.    Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el análisis.
3.    Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK.
4.    Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2)
5.    Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo e igualelas a 0. Si el número de nodos es n, el número de ecuaciones será por lo menos n − 1 porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación.
6.    Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo. Las corrientes de los dos nodos se combinan en una nueva ecuación muy sencilla.
7.    Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.

Ejemplos
   Ejemplo 1: Caso básico

 
Figura 3: Circuito sencillo con una tensión desconocida V1.

La única tensión desconocida en este circuito es V1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:
 
Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:
 
Se resuelve con respecto a V1:
 
Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.
 

   Ejemplo 2

 
Figura 4: Gráfico del Ejemplo 2

Ejemplo: Del circuito de la figura 4 debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos'
Solución:
1.    Se localizan todos los nodos del circuito.
2.    Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia Vd (Figura 5).
3.    No hay fuentes de tensión.
4.    Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc
5.    Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así:
o    Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia de 2Ω tiene la polaridad de la Figura 5. Así
 
Figura 5
                                           
Simplificando:                     
                                           
•    Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:
 
Figura 6
 
factorizando obtenemos
 
•    Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:
 
Figura 7
                                                            
factorizando obtenemos:
                                                             
Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.
 
Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: Va = 42.5V, Vb = 22.5V y Vc = 12.5V


Supernodos
 
Figura 8: En este circuito, VA está en medio de dos tensiones desconocidas, y además es un supernodo.

En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V1 y V2. La tensión en la terminal positiva de VB ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V1 y 2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V1 = V2 + VA.
El sistema de ecuaciones para este circuito es:
 
Al sustituir V1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V2, tenemos: 

Ejemplo de resolución por supernodos
 
Figura 9: Ejemplo de supernodo
Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así:

•    Tensión en la resistencia de 4Ω:
 
factorizando
 
•    Observamos el supernodo en los nodos Vb y Vc, tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a
Vb y Vc:
 
factorizando
 
•    Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así:
Vb − Vc = 10
Observación: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.
Sistema de ecuaciones: 

Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V


Análisis de mallas

 

Figura 1: Circuito plano con mallas esenciales 1, 2, y 3. R1, R2, R3, 1/sc, y Ls representan la impedancia de las resistencias, el condensador y el inductor. Vs e Is representan la tensión y la corriente de la fuente de tensión y de la fuente de corriente, respectivamente.

El análisis de mallas (algunas veces llamada como método de corrientes de malla), es una técnica usada para determinar la tensión o la corriente de cualquier elemento de un circuito plano. Un circuito plano es aquel que se puede dibujar en un plano de forma que ninguna rama quede por debajo o por arriba de ninguna otra. Esta técnica está basada en la ley de tensiones de Kirchhoff. La ventaja de usar esta técnica es que crea un sistema de ecuaciones para resolver el circuito, minimizando en algunos casos el proceso para hallar una tensión o una corriente de un circuito.1
Para usar esta técnica se procede de la siguiente manera: se asigna a cada una de las mallas del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; se prefiere asignarle a todas la corrientes de malla el mismo sentido. De cada malla del circuito, se plantea una ecuación que estará en función de la corriente que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones para obtener las diferentes corrientes de malla.

Corrientes de malla y mallas esenciales

 

Figura 2: Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, y i3. Las flechas muestran la dirección de la corriente de malla.


La técnica de análisis de mallas funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura uno las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas.2
Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podría no tener un significado físico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del análisis de mallas.1 Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en el mismo sentido. Esto ayudará a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convención es tenerlas todas girando a la manecillas del reloj.2 En la figura 2 se muestra el mismo circuito antes pero con las corrientes de malla marcadas.
La razón para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El análisis de mallas asegura el menor número de ecuaciones, simplificando así el problema.

Planteando las ecuaciones
 

Figure 3: Circuito simple usando análisis de mallas


Después de nombrar las corrientes de malla, se plantea una ecuación para cada malla, en la cual se suma todas las tensiones de todos los componentes de una malla. Para los elementos que no son fuentes de energía, la tensión será la impedancia del componente por la corriente que circula por él. Cuando un componente se encuentra en una rama que pertenece a dos mallas, su corriente será resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella. Por ejemplo, la tensión de la resistencia R2 en la figura 2 es: VR = R(i3i1), siendo i3 la corriente de malla de la que estamos escribiendo su ecuación e i1 la malla vecina; considerando positiva la corriente de la malla que estamos describiendo y negativa la corriente de malla vecina. Es importante tener en cuenta los signos.
Si hay una fuente de tensión en la corriente de malla, la tensión en la fuente es sumada o sustraída dependiendo si es una caída o subida de tensión en la dirección de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no este contenida en dos mallas, la corriente de malla tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla está en la misma dirección o en dirección opuesta a la fuente de corriente.2 A continuación se plantean las ecuaciones del circuito de la figura 3, así:
 
Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales.
Observación: En circuitos resistivos (donde solo hayan resistencias), si al resolver el sistema una corriente de malla es negativa significa que esa corriente circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. En circuitos de corriente alterna con condensadores, bobinas, será importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con números complejos, a través de la fórmula de Euler, tendremos cambios de modulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor módulo como positiva; tenemos que acudir al patrón de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra elección).

Casos especiales
 

Figura 4: Circuito con una supermalla. Supermalla ocurre porque la fuente de corriente está en medio de las mallas esenciales.

Hay dos casos especiales en la técnica de análisis de mallas: supermallas y fuentes dependientes.

Supermalla

Existe una supermalla cuando una fuente de corriente está entre dos mallas esenciales. Para tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera allí. Esto produce una ecuación que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta ecuación, se necesita una ecuación que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de corriente, esto será una ecuación donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de malla menos la otra. A continuación hay un ejemplo de supermalla.

 
Fuentes dependientes


Figura 5: Circuito con fuente dependiente. ix es la corriente que la fuente dependiente de tensión depende.
Una fuente dependiente es una fuente de corriente o de tensión que depende de la tensión o de la corriente de otro elemento en el circuito.
Cuando una fuente dependiente está en una malla esencial, la fuente dependiente debería ser tratada como una fuente normal. Después de que se haya planteado la ecuación de malla, se necesita una ecuación para la fuente dependiente. Esta es una ecuación que relaciona la variable de la fuente dependiente con la corriente o tensión que la fuente depende del circuito. A continuación hay un ejemplo simple de una fuente dependiente.

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